$$\mathrm{Ax}\;=\;\mathrm b$$ Eşitliğinde A matrisi ile b vektörünün bilindiğini varsayalım. O halde x vektörünü şöyle bulabiliriz.
$$ \style{font-family:'Times New Roman'}{\style{font-size:14px}{\begin{array}{l}\mathrm{Ax}\;=\;\mathrm b\\\mathrm A^{-1\;}\mathrm{Ax}\;=\;\mathrm A^{-1}\mathrm b\\\mathrm{Ix}\;=\;\mathrm A^{-1}\mathrm b\\\mathrm x\;=\:\mathrm A^{-1}\mathrm b\\\end{array}}} $$ Burada I birim matristir. O halde x vektörünü bulabilmem için A matrisinin tersini bulup, bulduğum matrisi b vektörüyle çarpma işlemine tabi tutmalıyım. Örneğin A şöyle bir matris olsun:
$$ \mathrm A\;=\;\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&\;\;\;2&\;\;\;3\\1&\;\;1&\;\;\;4\end{bmatrix} $$ b vektörü de şöyle olsun:
$$ \begin{bmatrix}0\\5\\12\end{bmatrix} $$ bu durumda A'nın tersi bir tanedir ve şöyledir:
$$ \mathrm A^{-1\;}\;=\;\begin{bmatrix}\;5&\;3&-1\\\;7&\;5&-2\\-3&-2&\;\;1\end{bmatrix} $$ Şimdi x vektörünü bulabilirim.
$$ \mathrm x\;=\;{\begin{bmatrix}\;5&\;3&-1\\\;7&\;5&-2\\-3&-2&\;\;1\end{bmatrix}}_{3\times3}\times\;\;\;{\begin{bmatrix}0\\5\\12\end{bmatrix}}_{3\times1}\;=\;\;\;{\begin{bmatrix}3\\1\\2\end{bmatrix}}_{3\times1} $$ olur.
Eğer bir matrisin tersiyle kendisinin çarpımının birim matrisi verdiğini bilmezsem, o halde x vektörünün satır sayısı kadar denklem kurmam ve bunları teker teker çözmem gerekecekti. x vektörünün çok büyük boyutlu olduğunu düşündüğümüzde bu işlem imkansıza yakın zorlukta olacaktır.
0 yorum:
Yorum Gönder